Вычисление фрактальной размерности Минковского для плоского изображения Хабрахабр Доброго времени суток читатель. Сегодняшний пост будет посвящен вычислению приближенного значения фрактальной размерности плоского изображения, которая тесно связано с размерности Минковского. Это интересно как минимум по двум причинам. Во первых оказывается, что размерность ограниченного множества в метрическом пространстве может быть не только целым числом, но и любым неотрицательным. Во вторых значение размерности контура изображения а это ограниченное множество в метрическом пространстве является хорошим признаком. В рамках сегодняшнего поста не предусмотрено исследование робастности этого признака, но давайте рассмотрим показательный пример. Множество различных характеристик клеток опухолей молочной железы, полученное в результате анализа снимков тонкоигольной пункционной биопсии. Понятие фрактальной размерности. Фрактальная размерность Минковского, применение подобных фрактальных размерностей в географии, описание QGIS модуля для. Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ. Видео Приколы Для Взрослых тут. Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи dq. Фрактальная размерность d0. Сегодняшний пост будет посвящен вычислению приближенного значения фрактальной размерности плоского изображения, которая. Оригинальный алгоритм расчета фрактальной размерности регулярного. Множество данных состоит из 3. Под катом вас ждет объяснение смысла фрактальной размерности множества, по возможности доступным языком, алгоритм вычисления приближенного значения этой размерности, его реализация на c и ряд примеров с картинками. Возможно вы открыли этот пост только из за картинки справа, это изображение я позаимствовал из инстаграмма Jennifer Selter, и в конце мы вычислим фрактальную размерность, так сказать филейной части Дженифер. Хочется кстати вас попросить ответить на пару вопросов в конце поста. Размерность. Как обычно для того что бы понять смысл алгоритма, необходимо немного окунуться в теорию. Википедия сообщает нам, что размерность в физике и скорее всего большинство людей именно так воспринимают смысл размерности это количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или количество степеней свободы физической системы. Но в математике все обстоит немного по другому, тут у нас есть ряд определений размерности, которые часто зависят от рабочего пространства. В рамках общей топологии дается несколько определений размерности, и из них нам интересны будут размерность Хаусдорфа, размерность Минковского и фрактальная размерность. Для начала вспомним формальный смысл тех размерностей, которые для нас интуитивно понятны, в векторном пространстве которое нас окружает. Под базисом векторного пространства мы понимаем максимальное множество линейно не зависимых векторов. Re Расчет фрактальной размерности. Количество этих векторов мы называем размерностью векторного пространства, или его рангом. И любой элемент векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Размерность Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности действительного векторного пространства, и является естественным способом определения размерности подмножества в метрическом пространстве. Например размерность Хаусдорфа n мерного размерность в смысле векторного пространства унитарного пространства особый случай векторного пространства будет тоже равна n. Хорошее математическое описание размерности Хаусдорфа дано в русской википедии, нам же важно понять смысл этой размерности интуитивно. Представим полное покрытие множества. X шарами радиуса не более чем r, обозначим количество этих шаров за N r. Программа Расчета Фрактальной Размерности' title='Программа Расчета Фрактальной Размерности' />Значение N r будет расти при уменьшении r для полного покрытия будет требоваться все больше шаров. Размерностью Хаусдорфа хорошего множества X будет являться такое уникальное число d, что N r будет расти как 1rd при стремлении r к нулю. Под хорошим множеством понимаются гладкие множества без особенностей, какими например обладают фракталы. Примерами хороших множеств могут быть любые идеализированные геометрические объекты такие как куб, сфера и так далее. Фрактальная размерность. Опишем один простой способ задания фрактальной размерности, хотя например размерность Минковского так же является одой из фрактальных размерностей, и она как раз тесно связана с размерностью Хаусдорфа, но об этом позже. Вот он простой способ задания фрактальной размерности Возьмем некоторую D мерную геометрическую структуру и будем делить итеративно ее стороны на M равных частей на следующей итерации, будем делить каждую полученную на предыдущей итерации часть так же на M частей Каждый уровень будет состоять из MD частей предыдущего уровня Обозначим следующим образом количество полученных частей N MD. Программа Расчета Фрактальной Размерности' title='Программа Расчета Фрактальной Размерности' />Выполним следующее преобразование для вычисления формулы для значения фрактальной размерности D Рассмотрим простые примеры, которые я почерпнул из очень крутого курса по комплексным системам. Возьмем отрезок одномерное ограниченное множество, разделим его на две равные части, таким же образом будем поступать с каждой полученной частью. Таким образом мы будем создавать полное покрытие множества. Т. е. M 2 и N 2, т. M 3 и N 3. Эта размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа для хорошего множества. Давайте рассмотрим аналогичную процедуру для квадрата. Получаем M 2 и N 4, т. Такой же результат можно получить если делить стороны на 3 равные части и т. Бенуа Мандельброт при исследовании реальных объектов сделал очевидное замечание clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. В реальном мире мы редко имеем дело с идеализированными объектами, что же будет если мы рассмотрим не совсем хороший геометрический объект, например кривую Коха не путать с палочкой, вспомним алгоритм генерации такого множества. На каждой новой итерации, каждый кусок кривой, который является прямым отрезком, делится на три равные части, затем средний кусок убирается, а на его место становится конструкция напоминающая перевернутую букву V, каждое ребро которой равно убранной части отрезка а так же равно и оставшимся. Другими словами M 3, т. Тогда фрактальная размерность такого множества при бесконечном итерировании будет равна следующему значению В качестве другого примера давайте глянем на треугольник Серпинского. На каждой итерации одна сторона делится на 2 части, т. M 2, а в результате получается 3 части, т. N 3, тогда. Возникает конечно вопрос, вот мы получили цифры некоторые, ну размерность стала дробной, и чтоЕсть ли в этом какой то смысл, или это просто математические штучки. Строгой формулировки с описанием смысла дробности размерности нет, но можно ее интерпретировать следующим образом, на некотором интуитивном уровне. Фрактальная размерность чувствительна ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо источникВ курсе по анализу комплексных систем упоминается следующая трактовка дробная размерность это своего рода плотность самоподобия. Но говоря о реальных объектах читатель сразу же скажет, но ведь и кривая Коха и треугольник Серпинского далеки от реальности, что же делать тогда Как я упомянул выше, приведенное определение фрактальной размерности является простым, и одним из нескольких. Давайте перейдем к более сложному определению фрактальной размерности. А пока взгляните, например, на капусту брокколи Романеско, вот такая вот реальность. Размерность Минковского. Размерность Минковского это один из способов задания фрактальной размерности ограниченного множества в метрическом пространстве, определяется следующим образом где N. Верхняя и нижняя размерности Минковского тесно связанны с размерностью Хаусдорфа, интуитивно это легко уловить по способу задания размерности. Обычно упомянутые три размерности совпадают, и только в очень специфичных случаях имеет смысл их различать, но это не наши случаи. Размерность Минковского имеет так же другое название box counting dimension, из за альтернативного способа ее определения, который кстати дает подсказку к способу вычисления этой самой размерности. Рассмотрим двумерный случай, хотя аналогичное определение распространяется и на n мерный случай. Возьмем некоторое ограниченное множество в метрическом пространстве, например черно белую картинку, нарисуем на ней равномерную сетку с шагом.